Question

【题目】如图所示，矩形ABCD中，AB＝5，BC＝8，点P为BC上一动点（不与端点重合），连接AP，将△ABP沿着AP折叠．点B落到M处，连接BM、CM，若△BMC为等腰三角形，则BP的长度为_____．

Answer 1

【答案】或或8

【解析】

分三种情况：①BM＝CM时，如图1所示：作MG⊥BC于G，则BG＝CG＝BC＝4，∠BGM＝90，设BP＝x，由折叠的性质和相似三角形的性质得到MG，由勾股定理得出方程，解方程即可；②BM＝BC＝8时，如图2所示：根据折叠的性质得到BO＝MO，根据相似三角形的性质健康得到结论；③CM＝BC时，连接OC，如图3，由折叠的性质即可得到结论．

解：当△BMC为等腰三角形时，分三种情况：

①BM＝CM时，如图1所示：

作MG⊥BC于G，则BG＝CG＝BC＝4，∠BGM＝90°，

设BP＝x，

由折叠的性质得：MP＝BP＝x，AP垂直平分BM，

∵∠ABC＝90°，

∴∠MBG＝∠BAP，

∴△BGM∽△ABP，

∴＝=，即＝，

解得：MG＝x，

在Rt△PMG中，GP＝4﹣x，由勾股定理得：（4﹣x）2+（x）2＝x2，

解得：x＝，或x＝10（不合题意舍去），

∴BE＝；

②BM＝BC＝8时，如图2所示：

由折叠的性质得：BO＝MO＝BM＝4，AP⊥BP，

∴∠AOB＝∠ABP＝90°，

∵∠BAO＝∠BAP，

∴△ABP∽△AOB，

∴＝，即＝，

解得：BP＝；

③CM＝BC时，连接OC，如图3所示：

由折叠的性质得：AP垂直平分BM，

∵CM＝BC，

∴OC⊥BM，

∴点P与C重合，

∴BP＝BC＝8；

综上所述，当△BMC为等腰三角形时，BP的长为或或8；

故答案为：或或8．