Question

【题目】如图1和图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，.

探究：如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝___，AC＝___，△ABC的面积＝___.

拓展：如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F，设BD＝x，AE＝m，CF＝n，（当点D与A重合时，我们认为＝0）.

（1）用含x、m或n的代数式表示及；

（2）求(m+n)与x的函数关系式，并求(m+n)的最大值和最小值；

（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围.

发现：请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值.

Answer 1

【答案】探究：12，15，84；拓展：（1），；（2）；x=时，（）的最大值为15；当时，（）的最小值为12；（3）或；发现：.

【解析】

探究：由，AB=13，可得BH的长，即可求出CH的长，利用勾股定理求出AH、AC的长即可；拓展：（1）由三角形的面积公式即可求解；（2）首先由（1）可得，，再根据S△ABD+S△CBD=S△ABC=84，即可求出（m+n）与x的函数关系式，然后由点D在AC上（可与点A，C重合），可知x的最小值为AC边上的高，最大值为BC的长；根据反比例函数的性质即可得答案；（3）由于BC＞BA，所以当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，故根据点D的唯一性，分两种情况：①当BD为△ABC的边AC上的高时，D点符合题意；②当AB＜BD≤BC时，D点符合题意；发现：由于AC＞BC＞AB，所以使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线．

探究：∵，AB=13，

∴BH＝5，

∴，

∴HC＝9，，

∴S△ABC=×12×14=84，

故答案为12，15，84；

拓展：解：（1）由三角形面积公式得出：，；

（2）∵，，

∴，

∵AC边上的高为：，

∴x的取值范围为：，

∵（）随的增大而减小，

∴时，（）的最大值为：15；

当时，（）的最小值为12；

（3）∵BC＞BA，只能确定唯一的点D，

∴当以B为圆心，以大于且小于13为半径画圆时，与AC有两个交点，不符合题意，

①当BD为△ABC的边AC上的高时，即x=时，BD与AC有一个交点，符合题意，

②当AB＜BD≤BC时，即时，BD与AC有一个交点，符合题意，

∴x的取值范围是或，

发现：

∵AC＞BC＞AB，

∴AC、BC、AB三边上的高中，AC边上的高最短，

∴过A、B、C三点到这条直线的距离之和最小的直线就是AC所在的直线，最小值为AC边上的高的长.