Question

【题目】已知，在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°，试探究线段BD与CE的数量关系与直线BD与CE相交构成的锐角的度数.

（1）如图①，当点D，E分别在△ABC的边AB，AC上时，BD与CE的数量关系是___________，直线BD与CE相交构成的锐角的度数是_____________.

（2）将图①中△DAE绕点A逆时针旋转一个角度到图②的位置，则（1）中的两个结论是否仍然成立？说明理由.

（3）将图②中△DAE继续绕点A按逆时针方向继续旋转到点D落在CA的延长线时，请画出图形，并直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.

Answer 1

【答案】（1）BD=CE；40°；（2）仍然成立；理由见解析；（3）成立；图形见解析.

【解析】

（1）根据图形和已知条件即可得出结论；

（2）延长BD、CE，相交于点F，由∠BAC=∠DAE得出∠DAB=∠EAC，利用SAS证得△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=CE，∠DBA=∠ECA，根据三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=140°即∠ABC+∠BCF+∠ECA=140°，利用等量代换得到∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°，最后利用三角形内角和定理即可得出结论；

（3）方法同（2）.

（1）BD=CE；40°；

如图①∵AB=AC，AD=AE

∴AB-AD=AC-AE

∴BD=CE

直线BD与CE相交构成的锐角是∠A，

∴∠A=∠BAC=∠DAE=40°

故答案为：BD=CE；40°；

（2）仍然成立

证明：延长BD、CE，相交于点F，如图所示

∵∠BAC=∠DAE=40°

∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE

即∠DAB=∠EAC

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD=CE，∠DBA=∠ECA

∵∠BAC=40°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠ABC+∠ACB=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠ECA=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°即∠FCB+∠FBC=140°

∵∠FCB+∠FBC+∠F=180°

∴∠F=40°

（3）（1）中结论仍然成立，如图所示

证明：∵∠BAC=∠DAE=40°

∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE

即∠DAB=∠EAC

又∵AB=AC，AD=AE，

∴△DAB≌△EAC（SAS）

∴BD=CE，∠DBA=∠ECA

∵∠BAC=40°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°

∴∠ABC+∠ACB=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠FCA=140°

∴∠ABC+∠BCF+∠DBA=140°，即∠FCB+∠FBC=140°

∵∠FCB+∠FBC+∠BFC=180°

∴∠BFC=40°