Question

7．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD⊥AB，垂足为点D，CE平分∠DCO，交⊙O于点E．
（1）证明：$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$
（2）当点C在上半圆弧上移动时，点E是否随着点C的移动而移动？

Answer 1

分析 （1）由等腰三角形的性质和角平分线定义证出∠OEC=∠DCE，得出OE∥CD，证出OE⊥AB，即可得出结论；
（2）由$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，即可得出结论．

解答 （1）证明：连接OE，如图所示：
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∵CE平分∠DCO，
∴∠OCE=∠DCE，
∴∠OEC=∠DCE，
∴OE∥CD，
∵CD⊥AB，
∴OE⊥AB，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$
（2）解：∵$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴当点C在上半圆弧上移动时，点E不随着点C的移动而移动．

点评 本题考查了垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、平行线的判定与性质；熟练掌握圆心角、弧、弦的关系，证明OE∥CD是解决问题的关键．