Question

已知：a，b，c是△ABC的三边长，且满足a²b-a²c+b³-b²c=0，试判断三角形的形状．
变式：已知：a，b，c是△ABC的三边长，且满足a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，尝试判断三角形的形状．

Answer 1

考点：因式分解的应用

专题：

分析：首先将原式变形为a²b-a²c+b³-b²c=0，就有（b-c）（a²-b²）=0，可以得到b-c=0或a²-b²=0，进而得到，b=c．从而得出△ABC的形状；
分析题目所给的式子，利用配方法变形，得（a-b）²+（b-c）²=0，再利用非负数的性质求解即可．

解答：解：△ABC是等腰三角形．理由如下：
∵a²b-a²c+b³-b²c=0，
∴a²（b-c）+b²（b-c）=0，
∴（b-c）（a²+b²）=0，
∴b-c=0或a²+b²=0，
即b=c．
故△ABC是等腰三角形．

解：△ABC为等边三角形．理由如下：
∵a²+2b²+c²-2b（a+c）=0，
∴a²-2ab+b²+b²-2bc+c²=0，即（a-b）²+（b-c）²=0，
∴a-b=0，b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形．

点评：本题考查因式分解提公因式法在实际问题中的运用，等腰三角形的判定和直角三角形的判定．