Question

如图所示①，已知AB是⊙O中一条固定的弦，点C是优弧的一个动点(点C不与A、B重合)．

(1)设∠ACB的角平分线与劣弧交于点P，试猜想点P在上的位置是否会随点C的运动而变化?请说明理由．

(2)如图②，设AB=8，⊙O半径为5，在(1)的条件下，四边形ACBP的面积是否是定值?若是定值，求出这个定值；若不是定值，求出四边形ACBP面积的取值范围．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)点P位置不会随点C的运动而变化． ∵CP平分∠ACB，∴∠ACP=∠BCP， ∴=， 即P是劣弧AB的中点． ∴点P位置不会变化． (2)∵△ABC的面积不是定值，△ABP的面积为定值 ∴四边形ACBP的面积不是定值． 如图②，连接OP，交AB于E， ∵=，OP是半径． ∴OP⊥AB，． ∵OA=5． ∴，PE=2． ∴． ∴当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即△ABC的AB边上的最大高线是CE=8． ∵AB=8，∴△ABC的最大面积是32． ∴四边形ACBP的最大面积是40． 综上，四边形ACBP的面积不是定值，它的取值范围是．

提示：

(1)点P是否会随C运动而变化位置关键是看P有何特殊性质，由PC是∠ACB的平分线可知两圆周角∠ACP和∠BCP相等，则可得与相等． (2)中四边形ACBP的面积可看成两个三角形面积之和，其中△ABP面积是定值，而△ACB的底是AB，高是C到AB的距离，当CP经过圆心时，C到AB的距离最大，△ABC面积最大，则四边形ACBP面积也最大．