Question

【题目】综合与探究

如图，已知抛物线经过点，定点为，对称轴交轴于点．点的坐标为，点是在轴下方的抛物线对称轴上的一个动点，交于点，轴交射线于点，作直线．

（1）求点的坐标；

（2）如图1，当点恰好落在该抛物线上时，求点的坐标；

（3）如图2，当时，判断点是否在直线上，说明理由；

（4）在（3）的条件下，延长交于点，取中点，连接，探究四边形是否为平行四边形，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）当时，点在直线上．理由见解析；（4）四边形是平行四边形，理由见解析

【解析】

（1）先将点A坐标代入抛物线解析式，求出抛物线的解析式，从而求出点B的坐标；（2）先根据平行四边形的性质及抛物线的解析式求出G点的坐标，然后因为，根据平行线分线段成比例，求出CE的值，则可得E的坐标；（3）首先求出直线BG的解析式，然后检查A点是否在直线BG上;(4)根据平行四边形的判定判断四边形PFHG是否式平行四边形.

解：（1）经过点，

，解得．

抛物线的表达式为．

点的坐标为．

（2），，

四边形为平行四边形．

，

又，，．

点的横坐标为，

点落在抛物线上，

点的坐标为．

．

，

即，．

点的坐标为，

（3）当时，点在直线上．

理由如下：

当时，由（2）可知，

设直线的函数表达式为，

把，两点坐标代人，

可得．

解方程组，得．

直线的函数表达式为．

当时，，

点在直线上．

（4）四边形是平行四边形．

理由如下：

由（3）可知点的坐标为．

点的坐标为，．

设直线的函数表达式为，

．解得．

直线的函数表达式为．

解方程组，解得

点．

，，

．

为的中点，

（或），．

四边形为平行四边形．