Question

1．如图，在等腰△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AD上的一点．
（1）求证：△BEC是等腰三角形．
（2）若AB=AC=13，BC=10，点E是AD的中点，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的三线合一解答；
（2）根据等腰三角形的性质求出BD，根据勾股定理求出AD，根据勾股定理计算即可．

解答 解：（1）∵等腰△ABC，AD是BC边上的高，
∴AD为BC边上的垂直平分线，
∵E在AD上，
∴BE=CE，
∴△BEC为等腰三角形；
（2）∵AB=AC，AD为BC边上的高．
∴D为BC中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=5，
∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，
∴AD²+BD²=AB²，即AD²=13²-5²=12²，
∴AD=12，
∵E为AD中点
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=6，
∵在Rt△BDE中，∠BDE=90°．
∴BE²=DE²+BD²=5²+6²=（$\sqrt{61}$）²
∴BE=$\sqrt{61}$．

点评 本题考查的是等腰三角形的性质、勾股定理的应用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．