Question

如图，已知抛物线E：y=x²-4的图象与直线l：y=-2交于A、C两点，B为抛物线y=x²-4的顶点，抛物线F与E关于x轴对称．
（1）求抛物线F的关系式；
（2）x轴下方的F上是否存在一点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线E的关系式改为y=ax²+c（a＞0，c≠0），直线l的关系式改为y=-

c

2

，试探索问题（2）．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用关于x轴对称的两点横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可；
（2）先由抛物线E的解析式为y=x²-4，求出A，C，B三点的坐标，得到AC=2

2

，再根据平行四边形的性质，得出当D点在x轴下方时，D点坐标为（-2

2

，-4）或（2

2

，-4），再把这两个点代入抛物线F的解析式中，发现这两个点满足F的解析式，从而得出所求点D的坐标；
（3）把E的解析式系数用a代替，借助参数a来求证这两个点．方法跟前面一样．

解答：解：（1）∵抛物线F与E关于x轴对称，抛物线E的解析式为y=x²-4，
∴抛物线F的解析式为-y=x²-4，即y=-x²+4；

（2）存在点D，而且还是两个．
将y=-2代入y=x²-4，得x²-4=-2，
解得x=±

2

，
所以A点坐标为（-

2

，-2），C点坐标为（

2

，-2），
抛物线y=x²-4的顶点B的坐标为（0，-4），
所以AC=2

2

，
所以在x轴下方，当D点坐标为（-2

2

，-4）或（2

2

，-4）时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
将（-2

2

，-4）代入抛物线F的解析式y=-x²+4，得左边=-4，右边=-（-2

2

）²+4=-4，左边=右边，点（-2

2

，-4）在抛物线F上，
同理，将（2

2

，-4）代入抛物线F的解析式y=-x²+4，得左边=-4，右边=-（2

2

）²+4=-4，左边=右边，点（2

2

，-4）在抛物线F上．
综上所述，所求点D的坐标为（-2

2

，-4）或（2

2

，-4）；

（3）不存在点D，理由如下：
如图，将y=-

c

2

代入y=ax²+c，得ax²+c=-

c

2

，
整理，得x²=-

3c

2a

，
∵a＞0，c≠0，
∴c＞0时原方程无解，点D不存在；
c＜0时，解得x=±

-6ac

2a

，此时A点坐标为（-

-6ac

2a

，-

c

2

），C点坐标为（

-6ac

2a

，-

c

2

），A，C两点均在x轴上方．
抛物线E：y=ax²+c的顶点B的坐标为（0，c），B在x轴下方，抛物线F的解析式为y=-ax²-c．
∵AC=

-6ac

a

，
∴在x轴下方，当D点坐标为（-

-6ac

a

，c）或（

-6ac

a

，c）时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．
将（-

-6ac

a

，c）代入抛物线F的解析式y=-ax²-c，得左边=c，右边=-a（-

-6ac

a

）²-c=5c，左边≠右边，点（-

-6ac

a

，c）不在抛物线F上，
同理，将（

-6ac

a

，c）代入抛物线F的解析式y=-ax²-c，得左边=c，右边=-a（

-6ac

a

）²-c=5c，左边≠右边，点（

-6ac

a

，c）不在抛物线F上．
综上所述，所求点D的坐标不存在．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合是解题的关键．