Question

3．如图，抛物线y=-x²+5x+n经过点A（1，0），与y轴交于点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是y轴上一点，且△PAB是以AB为腰的等腰三角形，试求P点坐标．
（3）将抛物线y=-x²+5x+n沿着坐标轴方向经过怎样的一次平移可以使它使它经过原点．

Answer 1

分析 （1）将A点的坐标代入抛物线中，即可得出二次函数的解析式．
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①PA=AB，先根据抛物线的解析式求出B点的坐标，即可得出OB的长，进而可求出AB的长，也就知道了PB的长，由此可求出P点的坐标；
②PB=AB，此时P与A关于y轴对称，由此可求出P点的坐标．
（3）观察图象结合解析式写出答案即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=-x²+5x+n经过点A（1，0）
∴n=-4
∴y=-x²+5x-4；

（2）∵抛物线的解析式为y=-x²+5x-4，
∴令x=0，则y=-4，
∴B点坐标（0，-4），AB=$\sqrt{17}$，
①当PA=AB时，PA=AB，则有OB=OP
此时P（0，4）
②当PB=AB时，|PB|=$\sqrt{17}$，
故P（0，$\sqrt{17}-4$）；P（0，-$\sqrt{17}-4$）
③P为顶点时，PA=PB，点P在AB的垂直平分线与y轴交点处（0，-$\frac{15}{8}$）
因此P点的坐标为P（0，4）；P（0，$\sqrt{17}-4$）；P（0，-$\sqrt{17}-4$）；P（0，-$\frac{15}{8}$）

（3）将抛物线y=-x²+5x-4沿着坐标轴方向向左平移1个，或向左平移4个，或向上平移4个均平移可以使它使它经过原点．

点评 本题考查了二次函数解析式的确定、等腰三角形的性质等知识点，主要考查学生分类讨论、数形结合的数学思想方法．