Question

已知顶点为A(1，5)的抛物线y＝ax²＋bx＋c经过点B(5，1)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD周长的最小值；

(3)在(2)中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P(x，y)(x＞0)是直线y＝x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图所示构造等腰直角三角形PRQ．

①当△PBR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；

②在①的条件下，记△PBR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，5)， 　　∴设抛物线的解析式为， 　　将点B(5，1)代入，得， 　　解得， 　　∴ 　　(2)作A关于y轴的对称点，作B关于x轴的对称点，显然， 　　如图(5，1)，连结分别交x轴、y轴于C、D两点， 　　∵， 　　∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是． 　　而， 　　∴ 　　四边形ABCD周长的的最小值为． 　　(3)①点B关于x轴的对称点()，点A关于y轴的对称点(﹣1，5)，连接，与x轴，y轴交于C，D点， 　　∴CD的解析式为：， 　　联立， 　　得： 　　∵点P在上，点Q是OP的中点， 　　∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则． 　　故的取值范围是：． 　　②如图： 　　点E(2，2)，当EP＝EQ时，，得：， 　　当时， 　　 　　当时，． 　　当时， 　　当时，． 　　故S的最大值为：．