Question

如图，已知顶点为C的抛物线y=ax²-4ax+c经过点（-2，0），与y轴交于点A（0，3），点B是抛物线上的点，且满足AB∥x轴．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求抛物线上关于原点中心对称的两个点的坐标；
（3）在线段AB上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知抛物线经过的两点坐标，直接利用待定系数法求解即可．
（2）首先根据这两个点关于原点对称，用未知数表示出两点的坐标，再由这两点都在抛物线的图象上，将两点坐标代入抛物线的解析式中即可．
（3）首先由O、A、C三点坐标，可确定∠CAP=∠AOC，那么若“以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似”，夹这组对应角的两组对应边必成比例，先求出AC、OC、OA三边长，再由不同的比例关系式求出AP的长，而P点纵坐标易知（与点A相同），则点P坐标可求．

解答：解：（1）抛物线y=ax²-4ax+c经过点（-2，0）、A（0，3），有：

4a+8a+c=0 c=3

，解得

a=- 1 4 c=3

∴抛物线的解析式：y=-

1

4

x²+x+3．

（2）依题意，设这两个点的坐标为：（x，-

1

4

x²+x+3）、（-x，

1

4

x²-x-3）；
∴

1

4

x²-x-3=-

1

4

（-x）²+（-x）+3
解得：x₁=2

3

、x₂=-2

3

；
∴这两个点的坐标为：（2

3

，2

3

）、（-2

3

、-2

3

）

（3）由（1）的抛物线解析式知：C（2，4）；
过点C作CG⊥y轴于G，如右图；
∵A（0，3）、C（2，4）
∴OG=4，CG=2，CF=1，AF=2，AC=

5

，OC=2

5

；
则：tan∠COG=tan∠CAF=

1

2

，即∠AOC=∠CAP；
若以P、A、C为顶点的三角形与△AOC相似，那么应有两种情况：
①

AP

AC

=

OA

OC

，即

AP

5

=

3

2 5

∴AP=

3

2

，即 P（

3

2

，3）；
②

AP

AC

=

OC

OA

，即

AP

5

=

2 5

3

∴AP=

10

3

，即 P（

10

3

，3）；
综上，存在符合条件的点P，且坐标为（

3

2

，3）或（

10

3

，3）．

点评：本题主要考查了利用待定系数法确定函数解析式、关于原点对称的两点坐标的特点以及相似三角形的判定和性质；最后一题要注意根据不同的对应边进行分类讨论；总体的难度适中．