题目内容

已知顶点为A（1，5）的抛物线y=ax²+bx+c经过点B（5，1）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图（1），设C，D分别是x轴、y轴上的两个动点，求四边形ABCD的最小周长；
（3）在（2）中，当四边形ABCD的周长最小时，作直线CD．设点P（x，y）（x＞0）是直线y=x上的一个动点，Q是OP的中点，以PQ为斜边按图（2）所示构造等腰直角三角形PQR．
①当△PQR与直线CD有公共点时，求x的取值范围；
②在①的条件下，记△PQR与△COD的公共部分的面积为S．求S关于x的函数关系式，并求S的最大值．

解：（1）∵抛物线的顶点为A（1，5），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-1）²+5，
将点B（5，1）代入，得a（5-1）²+5=1，
解得a=- $\text{[math]}$ ，
∴y=- $\text{[math]}$ x²+ $\text{[math]}$ x+ $\text{[math]}$ ；

（2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，
显然A′（-1，5），B′（5，-1），连接A′B′分别交x轴、y轴于点C、D两点，
∵DA=DA′，CB=CB′，
∴此时四边形ABCD的周长最小，最小值就是A′B′+AB，
而A′B′= $\text{[math]}$ =6 $\text{[math]}$ ，
AB= $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，
∴A′B′+AB=10 $\text{[math]}$ ，
四边形ABCD的最小周长为10 $\text{[math]}$ ；

（3）①点B关于x轴的对称点B′（5，-1），点A关于y轴的对称点A′（-1，5），连接A′B′，与x轴，y轴交于C，D点，
∴CD的解析式为：y=-x+4，
联立 $\text{[math]}$ ，
得： $\text{[math]}$ ，
∵点P在y=x上，点Q是OP的中点，
∴要使等腰直角三角形与直线CD有公共点，则2≤x≤4．
故x的取值范围是：2≤x≤4．
②如图：

点E（2，2），当EP=EQ时，x-2=2- $\text{[math]}$ x，得：x= $\text{[math]}$ ，
当2≤x≤ $\text{[math]}$ 时，S= $\text{[math]}$ PR•RQ- $\text{[math]}$ EP²= $\text{[math]}$ （x- $\text{[math]}$ x）•（x- $\text{[math]}$ x）- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ （x-2）• $\text{[math]}$ （x-2），
S=- $\text{[math]}$ x²+4x-4，
当x= $\text{[math]}$ 时，S_最大= $\text{[math]}$ ．
当 $\text{[math]}$ ≤x≤4时，S= $\text{[math]}$ EQ²= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ x）• $\text{[math]}$ （2- $\text{[math]}$ x），
S= $\text{[math]}$ （x-4）²，
当x= $\text{[math]}$ 时，S_最大= $\text{[math]}$ ．
故S的最大值为： $\text{[math]}$ ．
分析：（1）可设顶点式，将顶点为A（1，5），点B（5，1）代入求出抛物线的解析式；
（2）可以过y，x轴分别做A，B的对称点A′，B′，然后连A′D，B′C，当这四点在同一直线时，周长最小，求出即可；
（3）作B关于x轴对称点B′，A关于y轴对称点A′，连接A′B′，与x轴，y轴交于C、D点，此时四边形ABCD周长最小，求出CD的解析式，求出CD与直线y=x的交点坐标，得到△PQR与直线y=x有公共点时x的取值范围，以及公共部分的面积S与x之间的函数关系式．
点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）利用顶点式求出二次函数的解析式，（2）确定四边形的周长，（3）根据对称性求出CD的解析式，然后求出x的取值范围和S与x的函数关系．