Question

20．已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若抛物线y=x²+（2k+1）x+k²+2与x轴交于A、B两点，O为坐标原点，且OA-OB=1，求k的值．

Answer 1

分析 （1）方程有两个实数根，则△≥0，代入系数即可求解；
（2）利用根与系数的关系将OA，OB的差用x₁，x₂的和差表示得到方程，从而得到答案．

解答 解：（1）∵方程x²+（2k+1）x+k²+2=0有两个实数根△≥0     
（2k+1）²-4（k²+2）≥0       
4k²+4k+1-4k²-14k-16≥0  解得：k≥$\frac{7}{4}$
（2）∵x₁x₂=k²+2≥0
∴A、B两点位于y轴的同侧
     设A，B两点的坐标为（x₁，0），（x₂，0）
∵OB-OB=1，
∴AB=1，
∴|x₁-x₂|=1
（x₁-x₂）=1   
（x₁+x₂）²-4x₁x₂=1
∴（2k+1）²-4（k²+2）=1
∴k=2

点评 本题将一元二次方程的根与系数关系和抛物线与x轴的交点整合，难点在于将点A与点B的距离用x₁，x₂的和差表示，有一定的难度．