题目内容

如图1，已知抛物线y=a（x-
7
2
）2+c与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，B点坐标为（6，0），C点坐标为（0，-3）．点P是线段AB上的一个动点（点P不与A、B两点重合）．在点P运动过程中，始终有一条过点P且和y轴平行的直线也随之运动，该直线与抛物线的交点为M，与直线BC的交点为N．
（1）①求出抛物线的函数表达式．
 ②直接写出直线BC的函数表达式．
（2）①如图2，连接MO、MB、ON，设四边形OMBN的面积为S，在点P的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；
②当S的值最大时，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使△MNE的周长最小？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，过点N作NH⊥y轴于点H，连接MH，在点P的运动过程中，当△MNH和△OBC相似时，求出点M的坐标．
考点：二次函数综合题
专题：综合题
分析：（1）①将B点、C点的坐标代入，利用待定系数法可确定抛物线的函数表达式；②由B、C两点的坐标，可得直线BC的函数表达式；
（2）①设P（x，0），则M（x，-
1
2
x2+
7
2
x-3），N（x，
1
2
x-3），表示出MN，继而得出S的表达式．利用配方法求最值即可；
②由题意得：M（3，3），N（3，-
3
2
），则M（3，3）关于x=
7
2
的对称点M1为（4，3），求出直线M1N的表达式，根据点F的横坐标为
7
2
，可求出点F的纵坐标，继而得出点E的坐标．
（3）分两种情况讨论，①△NMH∽△OBC，②△NMH∽△OCB，根据对应边成比例解出x的值，继而可得点M的坐标．
解答：解：（1）①将点B（6，0），点C（0，-3）代入抛物线解析式可得：
0=
25
4
a+c
-3=
49
4
a+c
，
解得：
a=-
1
2
c=
25
8
，
∴y=-
1
2
（x-
7
2
）+
25
8
．
②设直线BC的解析式为y=kx+b，
则
6k+b=0
b=-3
，
解得：
k=
1
2
b=-3
，
∴直线BC的解析式为：y=
1
2
x-3．

（2）①设P（x，0），则M（x，-
1
2
x2+
7
2
x-3），N（x，
1
2
x-3），
∴MN=-
1
2
x2+
7
2
x-3-（
1
2
x-3）=-
1
2
x2+3x，
S=
1
2
（-
1
2
x2+3x）×6
=-
3
2
x2+9x
=-
3
2
（x2-6x+9-9）
=-
3
2
（x-3）2+
27
2
，
∵-
3
2
＜0，
∴当x=3时，S最大=
27
2
．
②由题意得：M（3，3），N（3，-
3
2
），
M（3，3）关于x=
7
2
的对称点M1为（4，3），
设直线M1N的表达式为y=mx+n，将（4，3），（3，-
3
2
）代入得：
4m+n=3
3m+n=-
3
2
，
解得：
m=
9
2
n=-15
，
∴y=
9
2
x-15
令x=
7
2
，
∴y=
3
4
，
∴F（
7
2
，
3
4
）．

（3）当△NMH∽△OBC，则
-
1
2
x2+3x
x
=
6
3
=2，
解得：x1=0（舍去），x2=2，
∴M（2，2）．
当△NMH∽△OCB，则
-
1
2
x2+3x
x
=
3
6
=
1
2
，
解得：x1=0（舍去），x2=5，
∴M（5，2）．
综上所述：点M的坐标为（5，2）或（2，2）．
点评：本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、配方法求二次函数最值及利用轴对称求最短路径的知识，综合的知识点较多，解答本题的关键是数形结合思想及分类讨论思想的运用，难度较大．
练习册系列答案
相关题目
据报道，截止2013年12月我国网民规模达618 000 000人．将618 000 000用科学记数法表示为
 
．
对于半径为r的⊙P及一个正方形给出如下定义：若⊙P上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称⊙P是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=4
2
时，
①在P1（0，-3），P2（4，6），P3（4
2
，2）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是
 
；
②若点P在直线y=-x+2上，且⊙P是正方形ABCD的“等距圆”，则点P的坐标为
 
；
（2）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
①若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P在y轴上截得的弦长；
②将正方形ABCD绕着点D旋转一周，在旋转的过程中，线段HF上没有一个点能成为它的“等距圆”的圆心，则r的取值范围是多少？
如图1，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于点A、B，交y轴于点C，其中点B坐标为（1，0），同时抛物线还经过点（-2，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在直线y=kx+n（k≠0）与抛物线交于点M、N，使y轴平分△CMN的面积？若存在，求出k、n应满足的条件；若不存在，请说明理由；
（3）设抛物线的对称轴与抛物线交于点E，与x轴交于点H，连接EC、EO，将抛物线向下平移m（m＞0）个单位，当EO平分∠CEH时，求m的值．
先化简，再求值：
4
x-1
•
x2-1
2
-3（x-1），其中x=2．
州教育局为了解我州八年级学生参加社会实践活动情况，随机抽查了某县部分八年级学生第一学期参加社会实践活动的天数，并用得到的数据检测了两幅统计图，下面给出了两幅不完整的统计图（如图）

请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a=
 
%，并写出该扇形所对圆心角的度数为
 
，请补全条形图．
（2）在这次抽样调查中，众数和中位数分别是多少？
（3）如果该县共有八年级学生2000人，请你估计“活动时间不少于7天”的学生人数大约有多少人？
某校课外小组为了解同学们对学校“阳光跑操”活动的喜欢程度，抽取部分学生进行调查，被调查的每个学生按A（非常喜欢）、B（比较喜欢）、C（一般）、D（不喜欢）四个等级对活动评价，图1和图2是该小组采集数据后绘制的两幅统计图，经确认扇形统计图是正确的，而条形统计图尚有一处错误且并不完整．请你根据统计图提供的信息．解答下列问题：

（1）此次调查的学生人数为
 
；
（2）条形统计图中存在错误的是
 
（填A、B、C、D中的一个），并在图中加以改正；
（3）在图2中补画条形统计图中不完整的部分；
（4）如果该校有600名学生，那么对此活动“非常喜欢”和“比较喜欢”的学生共有多少人？
（1）解方程：
3
x-1
-
x+2
x(x-1)
=0   
（2）解不等式组：
1-
x+1
3
≥0
3-4(x-1)＜1
．
函数y=
x+1
+
2
x
中，自变量x的取值范围是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网