Question

【题目】如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度沿向终点运动，同时点从点出发，以相同的速度沿向终点运动，过点作于点，连结，以、为邻边作矩形，当点运动到终点时，整个运动停止，设矩形与重叠部分图形的面积为，点的运动时间为秒．

（1）①的长为 ；

②用含的代数式表示线段的长为 ；

（2）当的长度为10时，求的值；

（3）求与的函数关系式；

（4）当过点和点的直线垂直于的一边时，直接写出的值．

Answer 1

【答案】（1）①16；②3t；（2）当的长度为10时，的值为；（3）S＝；（4），

【解析】

（1）①由勾股定理可求解；

②由锐角三角函数可求解；

（2）分两种情况讨论，由QM的长度为10，列出方程可求解；

（3）分两种情况讨论，由面积公式可求解；

（4）分两种情况讨论，由锐角三角函数可求解．

（1）①∵∠ACB＝90°，AC＝12，AB＝20，

∴BC＝＝＝16，

故答案为：16；

②∵sinB＝，

∴，

∴PQ＝3t，

故答案为：3t；

（2）当时，可列，，符合题意

当时，可列，，不符合题意，故舍去．

综上，当的长度为10时，的值为．

（3）如图1，当时，．

如图2，当时，

．

（4）如图，若NQ⊥AC，

∴NQ∥BC，

∴∠B＝∠MQN，

∴tanB＝tan∠MQN，

∴，

∴＝，

∴t＝，

如图，若NQ⊥BC，

∴NQ∥AC，

∴∠A＝∠BQN，

∴tanA＝tan∠BQN，

∴，

∴，

∴t＝

综上所述：当t＝或时，过点Q和点N的直线垂直于Rt△ABC的一边．