Question

【题目】如图，是⊙的直径，为⊙的弦，⊥，与的延长线交于点，过点的直线交于点，且∠＝∠．

（1）求证：为⊙的切线；

（2）若＝2，＝，则线段的长为 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据等腰三角形的性质和已知条件证出∠OBC＝90°，即可得出结论；

（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．

（1）证明：连结．

∵为直径，为的弦，

∴，

∴，

∴．

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∵为半径，

∴为切线．

（2）∵OA＝2，

∴AD＝2OA＝4，

∵OP⊥AD，

∴∠POA＝90°，

∴∠P+∠A＝90°，

∴∠P＝∠D，

∵∠A＝∠A，

∴△AOP∽△ABD，

∴＝，即＝，

解得：BP＝，

故答案为：．