Question

3．如图，以△ADE的边AD为直径的⊙O交AE于B，交DE于C，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，求证：BC=BE．

Answer 1

分析 连接BD，根据圆周角定理得到BD⊥AE，由$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，得到∠ADB=∠EDB，推出△ADB≌△EDB，根据全等三角形的性质得到∠A=∠E，由圆内接四边形的性质得到∠BCE=∠A，等量代换得到∠BCE=∠E，即可得到结论．

解答 证明：连接BD，∵AD是⊙O的直径，
∴BD⊥AE，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴∠ADB=∠EDB，
在△ADB与△EDB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADB=∠EDB}\\{BD=BD}\\{∠ABD=∠EBD=90°}\end{array}\right.$，
∴△ADB≌△EDB，
∴∠A=∠E，
∵∠BCE=∠A，
∴∠BCE=∠E，
∴BC=BE．

点评 本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，等腰三角形的判定．正确的作出辅助线是解题的关键．