Question

15．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，BC=16，P、Q分别在边BC、AB上，且BP=BQ，连接PQ并延长与CA的延长线交于点R．
（1）求△ABC的面积；
（2）设BP=x，QR=y，求y关于x的函数解析式，并指出它的定义域；
（3）连结CQ，△AQR与△QBC是否有可能相似？如果不可能，说明理由；如果可能，求出此时BP的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，过A作AM⊥BC交BC于M，根据三角函数求得AM=5$\sqrt{3}$，于是得到S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AM$=$\frac{1}{2}×16×5\sqrt{3}$=40$\sqrt{3}$；
（2）如图2，过Q作QD∥BC交AC于D，根据相似三角形的判定定理得到△AQD∽△ABC，得到比例式$\frac{QD}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，求得DQ=$\frac{AQ•BC}{AB}$=$\frac{（10-x）×16}{10}$=16-1.6x，通过△RQD∽△RPC，得到比例式$\frac{QR}{RP}$=$\frac{QD}{PC}$代入数据即可得到结论；
（3）根据对顶角相等得到∠AQR=∠QBC=60°，如果△AQR与△QBC，则有$\frac{AQ}{BQ}=\frac{QR}{BC}$，代入数据即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，过A作AM⊥BC交BC于M，
∵AB=10，∠B=60°，∴AM=5$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×BC×AM$=$\frac{1}{2}×16×5\sqrt{3}$=40$\sqrt{3}$；

（2）∵∠B=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
如图2，过Q作QD∥BC交AC于D，
∴△AQD∽△ABC，
∴$\frac{QD}{BC}=\frac{AQ}{AB}$，
∴DQ=$\frac{AQ•BC}{AB}$=$\frac{（10-x）×16}{10}$=16-1.6x，
∴△RQD∽△RPC，
∴$\frac{QR}{RP}$=$\frac{QD}{PC}$
∴$\frac{y}{y+x}$=$\frac{16-1.6x}{（16-x）y}$=$\frac{16-1.6x}{0.6y}$，
∴y=-$\frac{8}{3}$x+$\frac{80}{3}$（0＜x＜10）；

（3）∵∠AQR=∠QBC=60°，
如果△AQR与△QBC，
则$\frac{AQ}{BQ}=\frac{QR}{BC}$，
∴$\frac{10-x}{x}=\frac{y}{16}$，
即$\frac{10-x}{x}$=$\frac{-\frac{8}{3}x+\frac{80}{3}}{16}$，
解得：x=6，或x=10（不合题意舍去），
∴当BP=6时，△AQR与△QBC相似．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，等边三角形的性质，求三角形的面积，正确的作出辅助线是解题的关键．