Question

11．已知抛物线y=-x²+（m-4）x+2m+4，与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），与y轴交于C点，且x₁，x₂满足x₁＜x₂，x₁+2x₂=0．
（1）求抛物线的解析式；
（2）能否找到直线y=kx+b与抛物线交于P，Q两点，使y轴恰好平分△CPQ的面积，求出k，b所满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根与系数的关系，以及x₁+2x₂=0，求得m的值；
（2）y轴平分三角形CPQ面积，P，Q横坐标互为相反数，则把一次函数解析式代入二次函数解析式得到的一元二次方程的两个解的根的和是0，据此即可求解．

解答 解：（1）∵x₁+x₂=m-4，x₁+2x₂=0
∴x₂=4-m
x₁=2m-8
∵x₁•x₂=-（2m+4）=（4-m）（2m-8）
∴m=2或7，
∵x₁＜x₂，即2m-8＜4-m，
∴m＜3，
∴m=2．
则抛物线的解析式是：y=-x²-2x+8；
（2）∵y轴平分三角形CPQ面积，
∴P，Q横坐标互为相反数
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+8}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，
则x²+（2+k）x+b-8=0，
∵x₁+x₂=-（2+k）=0，
△=（2+k）²-4（b-8）＞0，
解得：k=-2，b＜8．

点评 本题考查了二次函数与一元二次方程，二次函数与x轴的交点的横坐标就是对应的方程的根．