Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD在x轴上，A点在y轴上，且A（0，4），!B（2，0），经过C点的双曲线y=

k

x

（k＞0）与AD的延长线交于E点，直线EC与y轴交于点F，则△AEF的面积为（　　）

• A、45
• B、60
• C、75
• D、90

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：作CG⊥BD于点G，则△CDG≌△ABO，DG=OB=2，CG=OA=4，即C的纵坐标是-4，根据相似三角形的性质求得OD的长，进而求得OG，则C的坐标即可求得，利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后利用待定系数法求得AD的解析式，则E的坐标即可求解，然后利用待定系数法求得EC的解析式，进而求得F的坐标，则AF的长可以求得，利用三角形的面积公式求解．

解答：解：作CG⊥BD于点G，则△CDG≌△ABO，DG=OB=2，CG=OA=4，即C的纵坐标是-4．
∵矩形ABCD中，∠DAB=90°，
又∵OA⊥BD，
∴△AOD∽△BOA，
∴

OD

OA

=

OA

OB

=

4

2

=2，
∴OD=2OA=8，
∴OG=OD-DG=8-2=6，
∴C的坐标是（-6，-4）．
设反比例函数的解析式是y=

k

x

，则把C（-6，-4）代入得：k=24，
则函数的解析式是y=

24

x

．
设直线AD的解析式是y=mx+n，则

n=4 -8m+n=0

，
解得：

n=4 m= 1 2

，
则直线AD的解析式是：y=

1

2

x+4．
解方程组

y= 1 2 x+4 y= 24 x

，
解得：

x=-12 y=-2

或

x=8 y=3

（舍去）．
则E的坐标是（-12，-2）．
设EC的解析式是y=ax+b，则

-12a+b=-2 -6a+b=-4

，
解得：

a=- 1 3 b=-6

，
则直线EC的解析式是y=-

1

3

x-6．
令x=0，解得：y=-6，
则F的坐标是（0，-6）．
则EF=4+6=10，
则S_△AEF=

1

2

×10×12=60．
故选B．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确求得点C的坐标是解决本题的关键．