Question

18．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c与坐标轴分别交于点点A（0，8）、B（8，0）和点E，动点C从原点O开始沿OA方向以每秒1个单位长度移动，动点D从点B开始沿BO方向以每秒1个单位长度移动，动点C、D同时出发，当动点D到达原点O时，点C、D停止运动．
（1）求该抛物线的解析式及点E的坐标；
（2）若D点运动的时间为t，△CED的面积为S，求S关于t的函数关系式，并求出△CED的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c即可求出抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8；再令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，解方程可得点E的坐标；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，然后由点A（0，8）、B（8，0），可得OA=8，OB=8，从而可得OD=8-t，然后令y=0，点E的坐标为（-2，0），进而可得OE=2，DE=2+8-t=10-t，然后利用三角形的面积公式即可求△CED的面积S与D点运动时间t的函数解析式为：S=-$\frac{1}{2}$t²+5t，然后转化为顶点式即可求出最值为：S_最大=$\frac{25}{2}$．

解答 解：（1）将点A（0，8）、B（8，0）代入抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+bx+c得：$\left\{\begin{array}{l}{c=8}\\{-\frac{1}{2}×64+8b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：b=3，c=8，
故抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+3x+8，
∵点A（0，8）、B（8，0），
∴OA=8，OB=8，
令y=0，得：-$\frac{1}{2}$x²+3x+8=0，
解得：x₁=8，x₂=-2，
∵点E在x轴的负半轴上，
∴点E（-2，0），
∴OE=2；
（2）根据题意得：当D点运动t秒时，BD=t，OC=t，
∴OD=8-t，
∴DE=OE+OD=10-t，
∴S=$\frac{1}{2}$•DE•OC=$\frac{1}{2}$•（10-t）•t=-$\frac{1}{2}$t²+5t，
即S=-$\frac{1}{2}$t²+5t=-$\frac{1}{2}$（t-5）²+$\frac{25}{2}$，
∴当t=5时，S_最大=$\frac{25}{2}$．

点评 此题考查了二次函数的综合题，解题的关键是熟练以下知识点：用待定系数法求函数关系式，函数的最值问题，三角形的面积公式，综合性较强，难度中等．