Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M在反比例函数y=

3

x

上，且与x轴交于A、B两点，若二次函数的对称轴与x轴的交点为N，当NO+MN取最小值时，则a=

 

．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：根据二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M的横坐标是-

1

a

，得出ON=

1

a

，根据M在反比例函数y=

3

x

上，得出点M的纵坐标是-3a，从而得出NO+MN=

1

a

+3a，再根据

1

a

+3a≥2

1 a •3a

，得出

1

a

+3a的最小值是2

3

，求出a的值即可．

解答：解：∵二次函数y=ax²+2x+c（a＞0）图象的顶点M的横坐标是-

1

a

，
∴ON=

1

a

，
∵M在反比例函数y=

3

x

上，
∴点M的纵坐标是-3a，
∴MN=3a，
∴NO+MN=

1

a

+3a，
∵

1

a

+3a≥2

1 a •3a

，
∴

1

a

+3a≥2

3

，
∴

1

a

+3a的最小值是2

3

，
即

1

a

+3a=2

3

，
解得；a=

3

3

，
经检验a=

3

3

是原方程的解．
故答案为：

3

3

．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数和反比例函数的图象与性质，关键是求出

1

a

+3a的最小值是2

3

，列出方程．