Question

如图，抛物线y=ax²-2ax+b经过点C（0，-

3

2

），且与x轴交于点A、点B，若tan∠ACO=

2

3

．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P是线段OB上一动点（不与点B重合），∠MPQ=45°，射线PQ与线段BM交于点Q，当△MPQ为等腰三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据抛物线y=ax²-2ax+b经过点C（0，-

3

2

），求出b=-

3

2

，再根据tan∠ACO=

2

3

，求出点A的坐标，再代入y=ax²-2ax-

3

2

即可得出此抛物线的解析式；（2）①过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，先求出PB=PM=2，再根据∠PMQ=45°，得出∠MPQ=45°，再求出点P的坐标即可；
②当∠MPQ=45°，PM=PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP=3-m，根据△MPQ∽△MBP，得出MB=BP，2

2

=3-m，求出m的值即可得出点P的坐标，再根据点P是线段OB上一动点，得出不合题意，舍去；
③当∠MPQ=45°，PM=QM时，点P与点A重合，得出不合题意，舍去．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+b经过点C（0，-

3

2

），
∴b=-

3

2

，
∴OC=

3

2

，
∵tan∠ACO=

2

3

，
∴OA=1，
∴点A的坐标是：（-1，0），
把（-1，0）代入y=ax²-2ax-

3

2

得；a=

1

2

，
∴此抛物线的解析式为：y=

1

2

x²-x-

3

2

，
（2）①过点M作MP⊥AB，垂足为点P，过点P作PQ⊥MB，垂足为点Q，
∵点M的坐标为：（1，-2），
点B的坐标为：（3，0），
∴PB=PM=2，
∴∠PMQ=45°，
∴∠MPQ=45°，
∴PQ=MQ，
∴点P的坐标为（1，0）；
②当∠MPQ=45°，PM=PQ时，设点P的坐标为（m，0），则BP=3-m，
∵∠M=∠M，∠MPQ=∠MBP，
∴△MPQ∽△MBP，
∴

MP

MB

=

PQ

BP

，
∵PM=PQ，
∴MB=BP，
∵MB=

22+22

=2

2

，
∴2

2

=3-m，
∴m=3-2

2

，
∴点P的坐标为（3-2

2

，0）；
③当∠MPQ=45°，PM=QM时，点P与点A重合，
（当PM=QM时，∠MPQ=∠MQP=45°，所以∠M=90°，又因为∠B=45°，所以△MBP是等腰直角三角形，所以，点M在线段BP的垂直平分线上．
又点M是抛物线的顶点，所以，点M在BA的垂直平分线上，所以，点P与点A重合）
∵点P是线段OB上一动点，
∴不合题意，舍去．
综上所述：点P（1，0），（3-2

2

，0）．

点评：此题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质，关键是根据题意画出所有图形，注意把不合题意的结果舍去．