题目内容
【题目】如图1，已知抛物线
与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C．其顶点为D．
（1）求点D的坐标和直线BC对应的一次函数关系式；
（2）若正方形PQMN的一边PQ在线段AB上，另两个顶点M、N分别在BC、AC上，试求M、N两点的坐标；
（3）如图1，E是线段BC上的动点，过点E作DE的垂线交BD于点F，求DF的最小值．
（图1） （图2）
【答案】（1）
，
；（2）
，
；（3）
．
【解析】
（1）将二次函数的解析式化为顶点式即可得点D的坐标；先根据二次函数的解析式可求出B、C的坐标，再利用待定系数法可求出直线BC的一次函数关系式；
（2）先利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而可设点M、N的坐标，再根据正方形的性质（四边相等）列出等式求解即可；
（3）先利用待定系数法求出直线BD的解析式，再设点E、F的坐标，利用待定系数法分别求出直线DE、EF的一次项系数，然后利用
列出等式并化简，得出DF的表达式，由此求解即可得．
（1）
则顶点D的坐标为
当
时，
，解得
或
则点A的坐标为
，点B的坐标为
当
时，
，则点C的坐标为
设直线BC对应的一次函数关系式为
将点，代入得：
，解得
则直线BC对应的一次函数关系式为；
（2）设直线AC的解析式为
将点，代入得：
，解得
则直线AC的解析式为
设点M的坐标为
，点N的坐标为
四边形PQMN是正方形，PQ在线段AB上
则有
，解得
则点M的坐标为，点N的坐标为；
（3）设直线BD的解析式为
将点，代入得：
，解得
则直线BD的解析式为
设点E的坐标为
，点F的坐标为
，则
，
由题意，分以下两种情况：
①当
时，则
，此时点E恰好在抛物线的对称轴上
点F的纵坐标为2，即
，解得
则
②当
且时
设直线DE的解析式为
将点，代入得：
，解得
设直线EF的解析式为
将点，代入得：
，解得
，即
整理得：
则
且
且
对于任意两个正数
都有
，即
，当且仅当
时，等号成立
设
（
且
）
则
，当且仅当
，即
时，等号成立
因此，此时DF的最小值为
又
综上，DF的最小值为．
