Question

如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6．现有两动点P、Q分别从A、C两点同时出发，点P以每秒1个单位长的速度由点A向点D做匀速运动，点Q沿折线CB-BA向点A做匀速运动．
（1）菱形ABCD的边长为

 

；
（2）若点Q的速度为每秒2个单位长，设运动时间为t秒．
①求△APQ的面积S关于t的函数关系式；
②当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（3）若点Q的速度为每秒a个单位长（a≤

5

4

），当t=4秒时，△APQ是等腰三角形，请直接写出a的值．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的性质可知AC⊥BD，且AC与BD互相平分，再根据勾股定理即可求出菱形的边长；
（2）①当0＜t≤

5

2

时，由题意，得AP=t，点Q在BC上运动，过点B作BE⊥AD，垂足为E，由直角三角形的性质求出BE的长，由三角形的面积公式可得到S与t的关系式；
②当

5

2

≤t＜5时，点Q在BA上运动，由题意，得AP=t，AQ=10-2t，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，可得出△AQG∽△ABE，由相似三角形的对应边成比例即可得出S关于t的关系式，再根据二次函数的最值问题进行解答即可；
（3）先判断出等腰三角形的两腰长，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，根据△AMF∽△AOD∽△CQF，可得出FM的值，由QF=MQ-FM得出QF的值，进而可得出a的值．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，且AC与BD互相平分，
∵AC=8，BD=6，
∴OA=4，OB=3，
∴AB=

OA2+OB2

=

42+32

=5；

（2）①当0＜t≤

5

2

时，由题意，得AP=t，点Q在BC上运动，
如图1，过点B作BE⊥AD，垂足为E，
∵AC=8，BD=6，
∴

1

2

AD•BE=

1

2

AC•BD，
由题意可得BE=

24

5

，
∴S=

1

2

AP•BE，即S=

12

5

t；
②当

5

2

≤t＜5时，点Q在BA上运动，
由题意，得AP=t，AQ=10-2t．
如图2，过点Q作QG⊥AD，垂足为G，则QG∥BE，
∴△AQG∽△ABE，
∴

QG

BE

=

QA

BA

，
∴QG=

48

5

-

48t

25

，
∴S=

1

2

AP•QG，
即S=-

24

25

t²+

24

5

t（

5

2

）（

5

2

≤t＜5）．（7分）
当0≤t＜

5

2

时，S=

12

5

t•4
当t=

5

2

时，S的最大值为6；（8分）
当

5

2

≤t＜5时，S=-

24

25

t²+

24

5

t，即S=-

24

25

（t-

5

2

）²+6．
∴当t=

5

2

时，S的最大值为6．（9分）
综上所述，当t=

5

2

时，S有最大值，最大值为6．（10分）

（3）a=

11

10

．
∵a≤

5

4

，
∴点Q在CB上，
由题意可知PQ≥BE＞PA，
∴当QA=QP时，△APQ是等腰三角形．
如图3，过点Q作QM⊥AP，垂足为点M，QM交AC于点F，
则AM=

1

2

AP=2．由△AMF∽△AOD∽△CQF，
得

FM

AM

=

QF

CQ

=

OD

AO

=

3

4

，
∴FM=

3

2

，
∴QF=MQ-FM=

33

10

，
∴CQ=

4

3

QF=

22

5

．
则

1×t

a•t

=

AP

CQ

，
∴a=

CQ

AP

=

11

10

．

点评：本题考查的是相似三角形的性质、菱形的性质、二次函数的最值及等腰三角形的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．