Question

【题目】已知抛物线

（1）求证：抛物线与轴总有两个不同的交点．

（2）设抛物线与轴的交点为点和点(点在点的左侧)，与轴交于点．

①若为直角三角形且，点在直线上方的抛物线上，且是锐角，求的取值范围．

②设抛物线顶点为，在抛物线上是否存在一点，使以点，，,为顶点的四边形为平行四边形？若存在请求出的值；若不存在请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①，②存在，或．

【解析】

（1）令，再根据根的判别式求解即可．

（2）①分别求出A、B、C的坐标，再根据勾股定理求得，联立方程求出点E的坐标，根据图象求出的取值范围．②根据抛物线解析式可得，对称轴为，设，根据，可得当即时，以点D、O、C为顶点才能构成等腰三角形，当时，分三种情况进行讨论即可．

（1）当时，

∵

∴抛物线与x轴总有两个不同的交点．

（2）①当时，

∴

∵A在B的左侧且

∴

当时，

∴

∵

∴

即

解得

∴

联立得

解得或

如图

∴与抛物线的另一个交点

∵P在直线上方的抛物线上，且是锐角

∴．

②存在

∵

∴对称轴为

设

∵

∴当即时，以点D、O、C为顶点才能构成等腰三角形

当时，分三种情况

1）若，则，即

解得

∴或

2）若，则，即

解得

∴或

3）若，则

综上所述，在抛物线对称轴上存在一点D，使以点DOC为顶点成等腰三角形，此时．