Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BC、CD上，且BE=CF，连接BF、DE交于点M，延长ED到H使DH=BM，连接AM，AH，则以下四个结论：

①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等边三角形；④S四边形ABCD= AM2．

其中正确结论的个数是（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】试题分析：∵四边形ABCD是菱形， AB=BD，∴AB=BD=AD，∴△ABD是等边三角形，

∴∠BDF=∠C=60°，又∵BE=CF，∴BC﹣BE=CD﹣CF，即CE=DF，

在△BDF和△DCE中， ，

∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小题正确；

∴∠DBF=∠EDC，

∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，

∴∠BMD=180°﹣∠DMF=180°﹣60°=120°，故②小题正确；

∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，

∴∠DEB=∠ABM，

又∵AD∥BC，∴∠ADH=∠DEB，∴∠ADH=∠ABM，

在△ABM和△ADH中， ，

∴△ABM≌△ADH（SAS），

∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，

∴△AMH是等边三角形，故③小题正确；

∵△ABM≌△ADH，

∴△AMH的面积等于四边形ABMD的面积，

又∵△AMH的面积=AMAM=AM2，

∴S四边形ABMD=AM2，

S四边形ABCD≠S四边形ABMD，故④小题错误，

综上所述，正确的是①②③共3个．

故选：C．