Question

13．某公园有一座雕塑D，在北门B的正南方向，BD为100米，小树林A在北门的南偏西60°方向，荷花池C在北门B的东南方向，已知A，D，C三点在同一条直线上且BD⊥AC：
（1）分别求线段AB、BC、AC的长（结果中保留根号，下同）；
（2）若有一颗银杏树E恰好位于∠BAD的平分线与BD的交点，求BE的距离．

Answer 1

分析 （1）先解Rt△ABD，根据锐角三角函数的定义得出AB=$\frac{BD}{cos60°}$=200米，AD=BD•tan60°=100$\sqrt{3}$米．再解Rt△CBD中，得出DC=BD=100米，BC=$\sqrt{2}$BD=100$\sqrt{2}$米，那么AC=AD+DC=（100$\sqrt{3}$+100）米；
（2）作EF⊥AB于F，根据角平分线性质得出EF=ED．利用HL证明△AEF≌△AED，得出AF=AD=100$\sqrt{3}$米，于是BF=AB-AF=（200-100$\sqrt{3}$）米．然后在Rt△BEF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BE=2BF=（400-200$\sqrt{3}$）米．

解答 解：（1）∵在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠ABD=60°，BD=100米，
∴AB=$\frac{BD}{cos60°}$=200米，AD=BD•tan60°=100$\sqrt{3}$米．
∵在Rt△CBD中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，BD=100米，
∴DC=BD=100米，BC=$\sqrt{2}$BD=100$\sqrt{2}$米，
∴AC=AD+DC=（100$\sqrt{3}$+100）米；

（2）作EF⊥AB于F，
∵AE平分∠BAD，ED⊥AD于D，EF⊥AB于F，
∴EF=ED．
在Rt△AEF与Rt△AED中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EF=ED}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△AED（HL），
∴AF=AD=100$\sqrt{3}$米，
∴BF=AB-AF=（200-100$\sqrt{3}$）米．
∵在Rt△BEF中，∠EFB=90°，∠BEF=90°-60°=30°，
∴BE=2BF=（400-200$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，锐角三角函数的定义，角平分线性质，全等三角形的判定与性质，准确作出辅助线是解题的关键．