Question

16．直角三角形的外接圆和内切圆半径分别是5和2，则该直角三角形中较小的锐角的正弦值是$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 利用直角三角形的斜边为直径，内切圆半径为两直角边的和与斜边的差的一半，若设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a、b，则c=2×5=10，$\frac{a+b-c}{2}$=2，加上勾股定理可计算出a、b的值，然后根据正弦的定义求解．

解答 解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a、b，
根据题意得c=2×5=10，$\frac{a+b-c}{2}$=2，
∴c=10，a+b=14，
而a²+b²=c²，
∴（14-b）²+b²=100，解得b=8或b=6，
当b=8时，a=6；当b=6时，a=8，
∴三角形的两直角边为6、8，
∴该直角三角形中较小的锐角的正弦值=$\frac{6}{10}$=$\frac{3}{5}$．
故答案为$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了三角形内心的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了三角形的外心．