Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连接AE，F为AE上一点，且∠BFE=∠C，
（1）求证：△ABF∽△EAD；
（2）若AB=2

3

，AD=3，BE=2，求BF的长．

Answer 1

分析：（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE=∠C，根据等角的补角相等可得出∠ADE=∠AFB，根据AB∥CD可得出∠BAF=∠AED，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系，有了AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，这样就能求出BF的长了．

解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D+∠C=180°，AB∥CD，
∴∠BAF=∠AED．
∵∠AFB+∠BFE=180°，∠D+∠C=180°，∠BFE=∠C，
∴∠AFB=∠D，
∴△ABF∽△EAD．

（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE=90°．
∴AE=

AB2+BE2

=

(2 3 )2+22

=4．
∵△ABF∽△EAD，
∴

BF

AD

=

AB

AE

．
∴

BF

3

=

2 3

4

．
∴BF=

3

2

3

．

点评：本题主要考查了三角形的判定和性质，同时也用到了平行四边形的性质和等角的补角相等等知识点．