Question

如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可以画出两个（即矩形ABCD和矩形AEFB，如图2）．

解答下列问题：
（1）设图2中矩形ABCD和矩形AEFB的面积分别为S₁、S₂，则S₁

 

 S₂（选填＞，=或＜）；
（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画

 

个，利用图3把它画出来；
（3）如图4，△ABC是锐角三角形，三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画

 

个，利用图4把它画出来；
（4）在（3）中所画的矩形中，哪一个矩形的周长最小？说出你的理由．

Answer 1

考点：图形的剪拼

专题：

分析：（1）易得原有三角形都等于所画矩形的一半，那么这两个矩形的面积相等．
（2）可仿照图2矩形ABFE的画法得到矩形．由于∠C非直角，所以只有一种情况．
（3）可让原锐角三角形的任意一边为矩形的一边，另一顶点在矩形的另一边的对边上，可得三种情况．
（4）根据三个矩形的面积相等，利用求差法比较三个矩形的周长即可．

解答：解：（1）由题意可知：矩形ACBD的面积是△ABC面积的2倍，而矩形AEFB与△ABC的底与高相同，则也是△ABC面积的2倍，所以S₁=S₂，
故答案为：=；
（2）1个，如图所示：（3）3个，如图所示：

（4）以AB为边的矩形周长最小，理由如下：
设矩形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为L₁，L₂，L₃，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个矩形的面积相等，设为S，
∴L₁=

2s

a

+2a；L₂=

2s

b

+2b；L₃=

2s

c

+2c．
∵L₁-L₂=2（a-b）

ab-s

ab

，而a-b＞0，ab-s＞0，ab＞0
∴L₁-L₂＞0，
∴L₁＞L₂，同理可得L₂＞L₃
∴以AB为边长的矩形周长最小．

点评：此题主要考查了作图与应用作图以及矩形的性质和直角三角形的性质等内容，根据矩形性质得出面积关系是解决问题的关键．