Question

11．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②2a+b＜0；③b²-4ac=0；④8a+c＜0；⑤a：b：c=-1：2：3，其中正确的结论有①④⑤．

Answer 1

分析 根据图象的开口可确定a，结合对称轴可确定b，根据图象与y轴的交点位置可确定c，根据图象与x轴的交点个数可确定△；根据当x=-2时，y＜0；抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（3，0），即可得出结论．

解答 解：①∵开口向下
∴a＜0
∵与y轴交于正半轴
∴c＞0
∵对称轴在y轴右侧
∴b＞0
∴abc＜0，故①正确；
∵二次函数的对称轴是直线x=1，即二次函数的顶点的横坐标为x=-$\frac{b}{2a}$=1，
∴2a+b=0，故②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，故③错误；
∵b=-2a，
∴可将抛物线的解析式化为：y=ax²-2ax+c（a≠0）；
由函数的图象知：当x=-2时，y＜0；即4a-（-4a）+c=8a+c＜0，故④正确；
∵二次函数的图象和x轴的一个交点是（-1，0），对称轴是直线x=1，
∴另一个交点的坐标是（3，0），
∴设y=ax²+bx+c=a（x-3）（x+1）=ax²-2ax-3a，
即a=a，b=-2a，c=-3a，
∴a：b：c=a：（-2a）：（-3a）=-1：2：3，故⑤正确；
故答案为：①④⑤．

点评 本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．