Question

已知，m是方程x²-3x-1=0的一个根，求证：m-

1

m

，m3-

1

m3

，  33长度的三条线段不能构成三角形．

Answer 1

分析：首先由m是方程x²-3x-1=0的一个根，求得m的值，再将m代入m-

1

m

与m³-

1

m3

求解，比较三边关系即可证得结论．注意m³-

1

m3

=（m-

1

m

）[（m-

1

m

）²+3]．

解答：解：∵m是方程x²-3x-1=0的一个根，
∴m²-3m-1=0，
∴m=

3± 13

2

，
∵m＞0，
∴m=

3+ 13

2

，
∴m-

1

m

=

3+ 13

2

-

2

3+ 13

=3，m³-

1

m3

=（m-

1

m

）（m²+1+

1

m2

）=3[（m-

1

m

）²+3]=3×（9+3）=36，
∵3+33=36，
∴m-

1

m

，m3-

1

m3

，  33长度的三条线段不能构成三角形．

点评：此题考查了方程解的定义，一元二次方程的解法以及立方公式与完全平方公式的知识．注意整体思想的应用是解此题的关键．