Question

如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km。
（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离。（结果精确到1km）
（参考数据：=1.73，=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73）

Answer 1

解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB， 交DB的延长线于点F， 在Rt△DAF中，∠ADF=30°， ∴AF=AD=×8=4， ∴， 在Rt△ABF中，， ∴BD=DF-BF=4-3，sin∠ABF=， 在Rt△DBE中，sin∠DBE=， ∵∠ABF=∠DBE， ∴sin∠DBE=， ∴DE=BD·sin∠DBE=（千米）， ∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km； （2）由题意可知∠CDB=75°， 由（1）可知sin∠DBE==0.8，所以∠DBE=53°， ∴∠DCB=180°-75°-53°=52°， 在Rt△DCE中，sin∠DCE=， ∴DC=≈4（km）， ∴景点C与景点D之间的距离约为4km。