题目内容
如图，某市郊外景区内一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C，景区管委会又开发了风景优美的景点D，经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上，已知AB=5km．（1）景区管委会准备由景点D向公路a修建一条距离最短的公路，不考虑其它因素，求出这条公路的长；（结果精确到0.1km）
（2）求景点C与景点D之间的距离．（结果精确到1km）
（参考数据：
| 3 |
| 5 |
分析：过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，求DE的问题就可以转化为求∠DBE的度数或三角函数值的问题．Rt△DCE中根据三角函数就可以求出CD的长．
解答：
解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，
过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=
AD=
×8=4，
∴DF=
=
=4
，
在Rt△ABF中BF=
=
=3，
∴BD=DF-BF=4
-3，
sin∠ABF=
=
，
在Rt△DBE中，sin∠DBE=
，
∵∠ABF=∠DBE，
∴sin∠DBE=
，
∴DE=BD•sin∠DBE=
×（4
-3）=
≈3.1（km），
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE=
=0.8，所以∠DBE=53°，
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=
，
∴DC=
≈
≈4（km），
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
解：（1）如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点A作AF⊥DB，交DB的延长线于点F，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，
∴AF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴DF=
| AD2-AF2 |
| 82-42 |
| 3 |
在Rt△ABF中BF=
| AB2-AF2 |
| 52-42 |
∴BD=DF-BF=4
| 3 |
sin∠ABF=
| AF |
| AB |
| 4 |
| 5 |
在Rt△DBE中，sin∠DBE=
| DE |
| BD |
∵∠ABF=∠DBE，
∴sin∠DBE=
| 4 |
| 5 |
∴DE=BD•sin∠DBE=
| 4 |
| 5 |
| 3 |
16
| ||
| 5 |
∴景点D向公路a修建的这条公路的长约是3.1km；
（2）由题意可知∠CDB=75°，
由（1）可知sin∠DBE=
| 4 |
| 5 |
∴∠DCB=180°-75°-53°=52°，
在Rt△DCE中，sin∠DCE=
| DE |
| DC |
∴DC=
| DE |
| sin52° |
| 3.1 |
| 0.79 |
∴景点C与景点D之间的距离约为4km．
点评：本题主要考查解直角三角形的条件，已知直角三角形的一个锐角和一边长，或已知两边长就可以求出另外的边和角．
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经过三个景点
．景区管委会又开发了风景优美的景点
．经测量景点
的北偏东
方向
处，位于景点
的正北方向，还位于景点
的北偏西
方向上．已知
．
，
，
，
，
，
，
．）
=1.73，
=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）
=1.73，
=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）
=1.73，
=2.24，sin53°=cos37°=0.80，sin37°=cos53°=0.60，tan53°=1.33，tan37°=0.75，sin38°=cos52°=0.62，sin52°=cos38°=0.79，tan38°=0.78，tan52°=1.28，sin75°=0.97，cos75°=0.26，tan75°=3.73．）