Question

【题目】如图，中，，，，若动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为秒.

（1）出发2秒后，求的周长.

（2）问为何值时，为等腰三角形？

（3）另有一点，从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，若、两点同时出发，当、中有一点到达终点时，另一点也停止运动.当为何值时，直线把的周长分成的两部分？

Answer 1

【答案】（1）cm；（2）当为3秒、5.4秒、6秒、6.5秒时，为等腰三角形；（3）或或秒

【解析】

（1）根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长；

（2）分点P在边AC上和点P在边AB上两种情况求解即可；

（3）分类讨论：①当点在上，在上；②当点在上，在上；③当点在上，在上.

解：（1）如图1，由，，，

∴，

动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒，

∴出发2秒后，则，

∴AP=2，

∵，

∴，

∴的周长为：.

（2）①如图2，若在边上时，，

此时用的时间为，为等腰三角形；

②2若在边上时，有三种情况：

（ⅰ）如图3，若使，此时，运动的路程为，

所以用的时间为，为等腰三角形；

（ⅱ）如图4，若，作于点，

∵，

∴CD=，

在中，

，

所以，

所以运动的路程为，

则用的时间为，为等腰三角形；

（ⅲ）如图5，若，此时应该为斜边的中点，运动的路程为，

则所用的时间为，为等腰三角形；

综上所述，当为、、、时，为等腰三角形；

（3）①3÷2=1.5秒，如图6，当点在上，在上，则，，

∵直线把的周长分成的两部分，

∴，∴，符合题意；

②(3+5) ÷2=4秒，如图7，当点在上，在上，则，，

∵直线把的周长分成的两部分，

∴，，符合题意；

③12÷2=6秒，当点在上，在上，则，，

∵直线把的周长分成的两部分，

（ⅰ）当AP+AQ=周长的时，如图8，

∴，，符合题意；

（ⅱ）当AP+AQ=周长的时，如图9，

∴，∴；

∵当秒时，点到达点停止运动，

∴这种情况应该舍去.

综上，当为或或秒时，直线把的周长分成的两部分.