Question

“宿松家乐福超市”以每件20元的价格进购一批商品，试销一阶段后发现，该商品每天的销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系如图（20≤x≤60）：
（1）求每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式；
（2）若该商品每天的利润为w（元），试确定w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，并求售价x为多少时，每天的利润w最大？最大利润是多少？

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）分别利用当20≤x≤40时，设y=ax+b，当40＜x≤60时，设y=mx+n，利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）利用（1）中所求进而得出w（元）与售价x（元/件）的函数表达式，进而求出函数最值．

解答：解：（1）分两种情况：当20≤x≤40时，设y=ax+b，
根据题意，得

20a+b=40 40a+b=60

，
解得

a=1 b=20

，
故y=x+20；
当40＜x≤60时，设y=mx+n，
根据题意，得

40m+n=60 60m+n=20

，
解得

m=-2 n=140

，故
y=-2x+140；
故每天销售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数表达式是：
y=

x+20，(20≤x≤40) -2x+140，(40?x≤60)

．

（2）w=

(x+20)(x-20)=x2-400，(20≤x≤40) (-2x+140)(x-20)=-2x2+180x-2800，(40?x≤60)

，
当20≤x≤40时，w=x²-400，
由于1＞0抛物线开口向上，且x＞0时w随x的增大而增大，又20≤x≤40，
因此当x=40时，w_最大值=40²-400=1200；
当40＜x≤60时，w=-2x²+180x-2800=-2（x-45）²+1250，
由于-2＜0，抛物线开口向下，又40＜x≤60，
所以当x=45时，w_最大值=1250．
综上所述，当当x=45时，w_最大值=1250．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数的应用，利用分段函数求出是解题关键．