Question

如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于点E，交PC于点F，连接AF．
（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若AC=24，AF=15，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC，先证∠OCF=90°，再证明△OAF≌△OCF，得出∠OAF=∠OCF=90°即可；
（2）先求出AE、EF，再证明△OAE∽△AFE，得出比例式

OA

AF

=

AE

EF

，即可求出半径．

解答：解：（1）AF与⊙O相切；理由如下：连接OC；如图所示：
∵PC是⊙O的切线，
∴OC⊥PC，
∴∠OCF=90°，
∵OF∥BC，
∴∠B=∠AOF，∠OCB=∠COF，
∵OB=OC，
∴∠B=∠OCB，
∴∠AOF=∠COF，
在△OAF和△OCF中，

OA=OC   ∠AOF=∠COF   OF=OF

 
∴△OAF≌△OCF（SAS），
∴∠OAF=∠OCF=90°，
∴AF与⊙O相切；
（2）∵△OAF≌△OCF，
∴∠OAE=∠COE，
∴OE⊥AC，AE=

1

2

AC=12，
∴EF=

152-122

=9，
∵∠OAF=90°，
∴△OAE∽△AFE，
∴

OA

AF

=

AE

EF

，即

OA

15

=

12

9

，
∴OA=20，即⊙O的半径为20．

点评：本题考查了切线的性质与判定和全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的证法和三角形相似是解题的关键．