Question

20．如图，⊙O中，弦AB=3，半径BO=$\sqrt{3}$，C是AB上一点且AC=1，点P是⊙O上一动点，连PC，则PC长的最小值是$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，利用垂径定理和勾股定理可求出OC、OD的长度，然后利用三角形三边关系即可求出PC的最小值．

解答 解：过点O作OD⊥AB于点D，连接OP、OC，
∵AB=3，
∴由垂径定理可知：BD=AD=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，
∵BO=$\sqrt{3}$，
∴由勾股定理可知：OD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AC=1，
∴CD=AD-AC=$\frac{1}{2}$，
∴由勾股定理可知：OC=1，
在△OCP中，由三角形三边关系可知：
PC＞OP-OC，
∴当O、C、P三点共线时，PC可取得最小值，
此时PC=OP-OC=$\sqrt{3}$-1
故答案为：$\sqrt{3}$-1

点评 本题考查垂径定理，解题的关键是根据垂径定理和勾股定理求出OC的长度，本题属于中等题型．