题目内容

下图①是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和叠放在一起(C与重合)．

(1)操作：固定△ABC，将△绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于点F(如图②)．

探究：在图②中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．

(2)操作：将图②中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，CF为∠ACB的平分线，平移后的△CDE设为△PQR(如图③)．

探究：设△PQR移动的时间为xs，△PQR与△AFC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数自变量x的取值范围．

(3)操作：将图①中△固定，将△ABC移动，使顶点C落在的中点，边BC交于点M，边AC交于点N，设∠AC＝α(30°＜α＜90°)(如图④)．

探究：在图④中，线段N·M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请求出N·M的值；如果有变化，请说明理由．

答案：
解析：

　　分析：本题是操作、探究结论型开放题．解题时抓住△ABC和△CDE都是等边三角形，各个角都是60°这一特征，同时注意图形运动的过程，“化动为静”，“以静制动”．

　　解：(1)BE＝AD．

　　证明：因为△ABC与△DCE都是等边三角形，

　　所以∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CE＝CD．

　　又∠BCE＝30°，则∠BCE＝∠ACD＝30°．

　　所以△BCE≌△ACD．

　　所以BE＝AD．(也可用旋转方法证明BE＝AD)

　　(2)如图，在△CQT中，

　　因为∠TCQ＝30°，∠PQT＝60°，所以∠QTC＝30°．

　　所以∠QTC＝∠TCQ．所以QT＝QC＝x，即RT＝3－x．

　　因为∠RTS＋∠R＝90°，

　　所以∠RST＝90°．

　　所以y＝S△PQR－SRt△RST＝×32－×(3－x)2(0≤x≤3)．

　　(3)N·M的值不变．

　　证明：因为∠ACB＝60°，

　　所以∠MC＋∠NC＝120°．

　　因为∠CN十∠NC＝120°，

　　所以∠MC＝∠CN．

　　因为∠＝∠，则△MC∽△CN．

　　所以＝．

　　即N·M＝C·C＝×＝．


练习册系列答案
相关题目
28、探究题：
我们在前面学习过程中曾经接确过“弦图”，你能用四个全等的直角三角形画出弦图吗？相信你肯定会了；那么请你根据你掌握的知识解决下面的问题：
（1）试用边长分别为1cm和2cm的2个正方形剪拼成一个大的正方形，并画出示意图．
上面的问题你会了吧，那么你来试试解决下面的问题，相信自己肯定能行！
（2）下图是由5个相邻的正方形组成的一个长方形，试把它剪成一个正方形，画出示意图．

（3）请把一个宽为2，长为6.5的矩形纸片，剪拼成一个正方形，画出示意图．

（4）请把一个长为9，宽为4的矩形纸片，剪拼成一个正方形，画出示意图．
精英家教网“构造法”是一种重要方法，它没有固定的模式．要想用好它，需要有敏锐的观察、丰富的想象、灵活的构思．应用构造法解题的关键有二：一是要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行组合．
例：在△ABC中，AB、BC、AC三边长分别是
5
、
10
、
13
，求这个三角形的面积．
小辉在解这道题时，画一个正方形网格（每个正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即的顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需要求的高，借助网格就能计算出它的面积．图中的面积，可以看成是一个的正方形的面积减去三个小三角形的面积：S△ABC=3×3-
1
2
×3×1-
1
2
×2×1-
1
2
×3×2=
7
2

思维拓展：已知△ABC的边长分别为
5a
、2
2a
、
17a
(a＞0)，请在下图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长为a）画出相应的△ABC，并求出它的面积．
下图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的边长分别为a、b，斜边长为c．如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a+b的正方形内．

①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形．由图可知：（1）是以
a
a
为边长的正方形，（2）是以
b
b
为边长的正方形，（3）的四条边长都是
c
c
，且每个角都是直角，所以（3）是以
c
c
为边长的正方形．
②图中（1）的面积
a 2
a 2
，（2）的面积为
b 2
b 2
，（3）的面积为
c 2
c 2
．
③图中（1）（2）面积之和为
a2+b 2
a2+b 2
．
④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？
阅读下列材料，并回答问题．
画一个直角三角形，使它的两条直角边分别为5和12，那么我们可以量得直角三角形的斜边长为13，并且52+122=132．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方．如果直角三角形中，两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则a2+b2=c2，这个结论就是著名的勾股定理．
请利用这个结论，完成下面的活动：
（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为
10
10
．
（2）满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）叫勾股数组．例如（3，4，5）就是一组勾股数组．观察下列几组勾股数
①3，4，5； ②5，12，13； ③7，24，25；④9，40，41；
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：
11，60，61
11，60，61
．
（3）如图，AD⊥BC于D，AD=BD，AC=BE．AC=3，DC=1，求BD的长度．

（4）如图，点A在数轴上表示的数是
-
5
-
5
，请用类似的方法在下图数轴上画出表示数
3
的B点（保留作图痕迹）．

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