Question

【题目】如图（1），，，垂足分别为、，．点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在射线上运动．它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．

（1）若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，并判断此时线段和线段的位置关系，请分别说明理由；

（2）如图（2），若“，”改为“”，点的运动速度为，其它条件不变，当点、运动到何处时有与全等，求出相应的的值．

Answer 1

【答案】（1）全等，PC⊥PQ，理由见解析；（2）2或

【解析】

（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP=∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90°得出结论即可；
（2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC=BP，AP=BQ，②AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可．

解：如图：

（1）△ACP≌△BPQ；

理由：∵AC⊥AB，BD⊥AB

∴∠A＝∠B＝90°

∵AP＝BQ＝2，

∴BP＝5，

∴BP＝AC，

∴△ACP≌△BPQ；

∴∠C＝∠BPQ，

∵∠C+∠APC＝90°，

∴∠APC+∠BPQ＝90°，

∴∠CPQ＝90°，

∴PC⊥PQ；

（2）有两种情况；

①若△ACP≌△BPQ，

则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7－2t，2t＝xt

解得：x＝2，t＝1；

②若△ACP≌△BQP，

则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7－2t

解得：x＝，t＝．

综上所述，当△ACP与△BPQ全等时，x的值为2或．