Question

【题目】如图1，点是线段的中点，分别以和为边在线段的同侧作等边三角形和等边三角形，连结和，相交于点，连结，

(1)求证：；

(2)求的大小；

(3)如图2，固定不动，保持的形状和大小不变，将绕着点旋转(和不能重叠)，求的大小．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)∠AEB=60°；(3)∠AEB=60°.

【解析】

（1）由等边三角形的性质可得，，继而可得∠AOC=∠DOB，利用SAS证明，利用全等三角形的性质即可得；；

（2）先证明，从而可得 ∠ODB=∠DBO，再利用三角形外角的性质可求得，，进而根据即可求得答案；

（3）证明，从而可得，再由，可得，设与交于点，利用三角形内角和定理以及对顶角的性质即可求得．

（1）∵和均为等边三角形，

∴，，

∴，

即∠AOC=∠DOB，

∴（SAS）

∴；

（2）∵O为AD中点，

∴DO=AO，

∵OA=OB，

∴，

∴∠ODB=∠DBO，

∵∠ODB+∠DBO=∠AOB=60°，

∴

同理，，

∴；

（3）∵，

∴，

∴，

又∵CO=DO，AO=BO，AO=DO，

∴OC=OB，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴，

∴，

设与交于点，

∵，，

又，

∴．