Question

7．如图，等边三角形的边长为3，依次在AB、BC、AC上取点A₁、B₁、C₁，使AA₁=BB₁=CC₁=1，则△A₁B₁C₁的面积是$\frac{3}{4}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点A₁作A₁D∥BC，交AC于点D，构造出边长为1的小正三角形△AA₁D；由AC₁=2，AD=1，得点D为AC₁中点，因此可求出S_△AA1C1=2S_△AA1D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；同理求出S_△CC1B1=S_△BB1A1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；最后由S_△A1B1C1=S_△ABC-S_△AA1C1-S_△CC1B1-S_△BB1A1求得结果．

解答 解：如图所示，过点A₁作A₁D∥BC，交AC于点D，则∠AA₁D=∠ADA₁=60°，
∴△AA₁D是边长为1的等边三角形．
又∵AC₁=AC-CC₁=3-1=2，AD=1，
∴点D为AC₁的中点，
∴S_△AA1C1=2S_△AA1D=2×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×1²=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
同理可得，S_△CC1B1=S_△BB1A1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△A1B1C1=S_△ABC-S_△AA1C1-S_△CC1B1-S_△BB1A1=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²-3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3}{4}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{3}{4}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查等边三角形的判定与性质，本题解题方法多种多样，解题时注意运用等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．