Question

1．如图，在?ABCD中，OA=OC，E，F分别是边BC，AD的中点．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如果∠BAC=90°，求证：四边形AECF是菱形；
（3）如果∠AEC=90°，AC=10，CF=8，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，根据线段的中点的定义，得到AF=$\frac{1}{2}$AD，CE=$\frac{1}{2}$BC，AF=CE，AF∥CE，得到四边形AECF是平行四边形；
（2）由三角形的中位线的性质得到OE∥AB，得到角相等，证得对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
（3）应用勾股定理求得CE的长度，得到BC等于CE的2倍．

解答 解：（1）证明：在?ABCD中，
∵AD∥BC，AD=BC，
又∵AF=$\frac{1}{2}$AD，CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴AF=CE，AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；

（2）如图∵AO=OC，BE=CE，
∴OE∥AB，
∴∠BAC=∠COE，
∵∠BAC=90°，
∴∠COE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形；

（3）由（1）证得：四边形AECF是菱形，
∴AE=CF=8，
∴CE=$\sqrt{{AC}^{2}{-AE}^{2}}$=6，
∴BC=2CE=12．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，勾股定理的应用，三角形中位线的性质，平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．