Question

【题目】在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，点P、E分别是直线BD、BC上的动点，且PE＝PC，过点E作EF∥AC交直线BD于点F

（1）如图1，当∠COD＝90°时，△BEF的形状是　 　

（2）如图2，当点P在线段BO上时，求证：OP＝BF

（3）当∠COD＝60°、CD＝3时，请直接写出当△PEF成为直角三角形时的面积．

Answer 1

【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）.

【解析】

（1）根据对角线互相垂直的矩形是正方形判定矩形ABCD是正方形，再由平行线的性质和正方形的性质得∠FEB＝45°，从而得：△BEF是等腰直角三角形；

（2）根据AAS证明△PEF≌△COP，可得结论；

（3）根据∠COD＝60°，得△COD是等边三角形，则OC＝CD＝3，证明△PFE≌△COP（ASA），得PF＝OC＝3，根据直角三角形30度角的性质计算PE和EF的长，根据三角形的面积公式可得结论．

解：（1）△BEF是等腰直角三角形，理由是：

如图1，∵∠COD＝90°，

∴AC⊥BD，

∴矩形ABCD是正方形，

∴∠ACB＝45°，

∵EF∥AC，

∴∠FEB＝∠ACB＝45°，∠F＝∠BOC＝90°，

∴△BEF是等腰直角三角形，

故答案为：等腰直角三角形；

（2）如图2，∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OB＝BD，OC＝AC，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝∠FBE，

∵∠FBE＝∠BEP+∠EPB，∠OCB＝∠PCB+∠OCP，

∵PE＝PC，

∴∠BEP＝∠PCB，

∴∠EPB＝∠OCP，

∵EF∥AC，

∴∠COP＝∠BFE，

∴△PEF≌△CPO（AAS），

∴OC＝PF＝OB，

∴OB﹣PB＝PF﹣PB，

即OP＝BF；

（3）∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，OD＝BD，OC＝AC，

∴OD＝OC，

∵∠COD＝60°，

∴△COD是等边三角形，

∴OC＝CD＝3，

如图3，当∠PEF＝90°时，

∵EF∥AC，

∴∠POC＝∠OFE＝60°，

∴∠BFE＝120°，

∴OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB＝∠FEB＝30°，

∵∠FEP＝90°，

∴∠PEC＝60°，

∵PE＝PC，

∴△PEC是等边三角形，

∴∠PCB＝60°，

∴∠PCO＝60°﹣30°＝30°＝∠FPE，

∴△PFE≌△COP（ASA），

∴PF＝OC＝3，

Rt△PFE中， ，

；

∴当△PEF成为直角三角形时的面积是．