Question

6．如图（1），（2）、（3），…（n），点M，N分别是⊙O的内接等边三角形ABC，内接正方形ABCD，内接正五边形ABCDE，…，内接正n边形ABCDE…的边AB，BC上的点，且BM=CN，连接OM，ON．
（1）求图（1）中∠MON的度数；
（2）图（2）中∠MON的度数是90°；
（3）图（3）中∠MON的度数是72°．

Answer 1

分析 （1）本题主要证明△OBM≌△OCN就可以证明∠MOB=∠NOC，从而得到∠MON=∠BOC即可求解；
（2）解决方法与（1）的解决方法相同；
（3）解决方法与（1）的解决方法相同．

解答 解：（1）如图1，连接OB、OC；
∵△ABC是⊙O的内接正三角形，
∴OB=OC，∠BOC=120°，
∠OBC=∠OCB=30°，
∴∠MBO=∠NCO=30°，
在△BOM与△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠MBO=∠NCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=120°；

（2）如图2，连接OB、OC；
∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形，
∴OB=OC，∠BOC=90°，
∠OBC=∠OCB=45°，
∴∠MBO=∠NCO=45°，
在△BOM与△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠MBO=∠NCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=90°；
故答案为：90°；

（3）如图3，连接OB、OC；
∵五边形形ABCD是⊙O的内接五边形，
∴OB=OC，∠BOC=72°，
∠OBC=∠OCB=54°，
∴∠MBO=∠NCO=54°，
在△BOM与△CON中，$\left\{\begin{array}{l}{BM=CN}\\{∠MBO=∠NCO}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴△OBM≌△OCN，
∴∠MOB=∠NOC，
∴∠MON=∠BOC=72°；
故答案为：72°．

点评 本题考查了正多边形外接圆中心角的性质，圆心角的计算，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正多边形外接圆中心角的性质是解题的关键．