Question

14．如图，已知反比例函数y=$\frac{2}{x}$的图象上有一组点B₁，B₂，…B_n，它们的横坐标依次增加1，且点B₁横坐标为1．“①，②，③…”分别表示如图所示的三角形的面积，记S₁=①-②，S₂=②-③，…，S₁+S₂+…+S_n=$\frac{n}{n+1}$（用含n的式子表示）．

Answer 1

分析 先根据规律得出①，②，③…的值，并依次求S₁、S₂、S_n的值，再相加即可．

解答 解：由题意得：①=$\frac{1}{2}$×2=1，
②=$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{2}$，
③=$\frac{1}{3}$，
④=$\frac{1}{4}$，
…
，
，
∴S₁=①-②=1-$\frac{1}{2}$，
S₂=②-③=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
S₃=③-④=$\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，
…
；
∴S₁+S₂+…+S_n=①-②+②-③+③-④+…=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$；

故答案为：$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数的性质，解题的关键是明确题意，找出所求三角形面积的特点，利用数形结合的思想解答问题．明确在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．