Question

19．如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，G是AD上的一点，BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，GH⊥BC，垂足为H，求证：
（1）∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）∠1=∠2．

Answer 1

分析 （1）由三角形内角和定理可知∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，然后利用角平分线的性质即可求出∠BGC=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC．
（2）由于AD是它的角平分线，所以∠BAD=∠CAD，然后根据图形可知：∠1=∠BAD+∠ABG，∠2=90°-∠GCH，最后根据三角形的内角和定理以及外角的性质即可求出答案．

解答 解：（1）由三角形内角和定理可知：∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC，
∵BG，CG分别平分∠ABC，∠ACB，
∠GBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠GCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∴∠GBC+∠GCB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）=90°-$\frac{1}{2}$∠BAC
∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=90°+$\frac{1}{2}$∠BAC；
（2）∵AD是它的角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
∴∠1=∠BAD+∠ABG，
∵GH⊥BC，
∴∠GHC=90°
∴∠2=90°-∠GCH
=90°-$\frac{1}{2}$∠ACB
=90°-$\frac{1}{2}$（180°-∠DAC-∠ADC）
=$\frac{1}{2}$∠DAC+$\frac{1}{2}$∠ADC
∵∠ADC=∠ABC+∠BAD，
∴$\frac{1}{2}$∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ABC+∠$\frac{1}{2}$∠BAD
=∠ABG+$\frac{1}{2}$∠BAD，
∴∠2=$\frac{1}{2}$∠DAC+$\frac{1}{2}$∠ADC
=$\frac{1}{2}$∠BAD+$\frac{1}{2}$∠BAD+∠ABG
=∠BAD+∠ABG，
∴∠1=∠2，

点评 本题考查三角形内角和综合问题，解题的关键是灵活运用三角形的内角和定理以及三角形的外角性质．本题属于中等题型．