Question

已知点M（3，2），N（1，-1），点P在y轴上，求使得△PMN的周长最小的点P的坐标及△PMN周长的最小值．

Answer 1

分析：首先利用轴对称求出P点的坐标，再利用三角形相似求出OP的长，即可得出P点的坐标，再利用三角形面积求法即可得出最小周长．

解答：解：作出N点关于y轴的对称点N′点，连接N′M，与y轴交点即是P点，延长N′N，作MD⊥N′N，垂足为D，
∵点M（3，2），N（1，-1），
∴MD=3，DN′=4，
易得△N′PA∽△N′MD，
∴

N′A

N′D

=

AP

MD

，
∴

1

4

=

AP

3

，
解得：AP=

3

4

，
∴OP=

1

4

，
∴使得△PMN的周长最小的点P的坐标为：（0，-

1

4

）；
∴S_△PNM=S_△MNN′-S_△PNN′=

1

2

DM×NN′-

1

2

NN′×AP=

1

2

×2×（3-

3

4

）=

9

4

，
∴△PMN周长的最小值为：

9

4

．

点评：此题主要考查了轴对称中最短路径求法以及坐标与图形性质，求出P点坐标是解决问题的关键．